Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，若該雙曲線上存在點P，滿足以雙曲線虛軸為直徑的圓與線段PF相切與線段PF的中點，則該雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)PF的中點為M，雙曲線的右焦點為F′（c，0），連結(jié)OM、PF′（O為坐標(biāo)原點），則|PF′|=2|OM|=2b且PF⊥PF′，可得PF，利用勾股定理，求出b=2a，即可求出雙曲線的離心率．

解答： 解：由題意可知點P在雙曲線的左支上且b＞a，
設(shè)PF的中點為M，雙曲線的右焦點為F′（c，0），連結(jié)OM、PF′（O為坐標(biāo)原點），
則|PF′|=2|OM|=2b且PF⊥PF′，
∴PF=PF′-2a=2b-2a，|PF|²+|PF′|²=|FF′|²，即（2b-2a）²+（2b）²=（2c）²，得b=2a，
則該雙曲線的離心率e=

a2+4a2

a

=

5

．
故答案為：

5

．

點評：本題考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的定義，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．