Question

已知數列{a_n}的前n項的和為S_n，且滿足a₁=1，S_n+1=4a_n+2
（1）若b_n=a_n+1-2a_n，證明數列{b_n}是等比數列；
（2）求證數列{

an

2n

}是等差數列；
（3）若c_n=

2n

an(3n+2)

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用數列的遞推式，分別表示出S_n+1和S_n+2，兩式相減，整理可得a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-4a_n，進而把b_n代入求得

bn+1

bn

=2，推斷出{b_n}為首項為3，公比為2的等比數列．
（2）通過（1）利用等比數列的通項公式求得b_n，然后利用b_n=a_n+1-2a_n，整理出判斷出數列{

an

2n

}是等差數列．
（3）求出c_n，拆項后利用裂項相消法可求得T_n．

解答： 解：（1）∵a₁=1，S₂=4a₁+2，得a₂=S₂-a₁=3a₁+2=5，
∴b₁=5-2=3，
由S_n+1=4a_n+2，得S_n+2=4a_n+1+2，
兩式相減得S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n），即a_n+2=4（a_n+1-a_n），亦即a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-4a_n，
∵b_n=a_n+1-2a_n，∴b_n+1=2b_n，
∴

bn+1

bn

=2，對n∈N^*恒成立，
∴{b_n}是首項為3，公比為2的等比數列；
（2）由（1）得b_n=3•2^n-1，∵b_n=a_n+1-2a_n，
∴a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
∴{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數列；
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)•

3

4

=

3n-1

4

，
∴an=

3n-1

4

•2n．
（3）由（2）得cn=

2n

3n-1 4 •2n(3n+2)

=

4

(3n-1)(3n+2)

=

4

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，
∴Tn=

4

3

(

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

8

+…+

1

3n-1

-

1

3n+2

)
=

4

3

(

1

2

-

1

3n+2

)．

點評：本題主要考查了由數列的遞推式求數列通項、等比數列和等差數列的性質以及數列求和．考查了基礎知識的綜合運用．