Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，點(diǎn)（

an

，a_n+1）（n∈N⁺）在函數(shù)y=x²+1的圖象上，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=2-b_n
（1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

-1

an+1log2bn+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n
（3）若x²-

x

2

＜c_n對(duì)于n∈N⁺恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，公差d=1的等差數(shù)列，由此求出a_n=n．由數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=2-b_n，推導(dǎo)出{b_n}是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，從而求出bn=(

1

2

)n-1．
（2）由c_n=

-1

an+1log2bn+1

=

-1

(n+1)log2( 1 2 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）x²-

x

2

＜c_n對(duì)于n∈N⁺恒成立，只需x2-

x

2

＜（c_n）_min，所以x2-

x

2

＜(cn)min=c1=

1

2

，由此能求出x的取值范圍．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)（

an

，an+1），n∈N^*在函數(shù)y=x²+1的圖象上，
∴（

an

，an+1）滿足y=x²+1，an+1=(

an

)2+1=a_n+1，
∴a_n+1-a_n=1，
又a₁=1，
∴{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，公差d=1的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=2-b_n，①
n=1時(shí)，b₁=2-b₁，解得b₁=1，
n≥2時(shí)，S_n-1=2-b_n-1，②，
①-②，得：b_n=-b_n+b_n-1，
即2b_n=b_n-1，

bn

bn-1

=

1

2

，
∴{b_n}是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，
∴bn=(

1

2

)n-1．
（2）c_n=

-1

an+1log2bn+1

=

-1

(n+1)log2( 1 2 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（3）x²-

x

2

＜c_n對(duì)于n∈N⁺恒成立，
只需x2-

x

2

＜（c_n）_min，
∵cn=

n

n+1

=

1

1+ 1 n

為增數(shù)列，
∴x2-

x

2

＜(cn)min=c1=

1

2

，
整理，得2x²-x-1＜0，
解得-

1

2

＜x＜1，
∴x的取值范圍是（-

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．