Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+x²．
（1）若方程f（x）=t有三個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+mx，若g（x）的極值存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，其中a₁=f′（1），若點(diǎn)（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=f′（x）的圖象上，求證：點(diǎn)（n，S_n）也在y=f′（x）的圖象上．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，再求出極值點(diǎn)，繼而得到t的取值范圍，
（2）先求導(dǎo)，g（x）的極值存在，則△=4-4m＞0，得m＜1，
（3）由題意求得{a_n}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，問(wèn)題得以解決．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³+x²．
∴f′（x）=x²+2x，
令f′（x）=0，得x=0，或x=-2，
∵f（-2）=

4

3

，f（0）=0，
∴當(dāng)方程f（x）=t有三個(gè)不等的實(shí)根時(shí)，則求實(shí)數(shù)t的取值范圍（0，

4

3

），
（2）∵g（x）=f（x）+mx，
∴g（x）=

1

3

x³+x²+mx，
∴g′（x）=x²+2x+m，
∵g（x）的極值存在，
∴△=4-4m＞0，得m＜1，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，1），
（3）∵f′（x）=x²+2x，a_n+1²-2a_n+1=a_n²-2a_n，
∴（a_n+1-a_n-2）（a_n+1+a_n）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
又a₁=f′（1）=3，
∴{a_n}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2n+1，
從而S_n=n²+2n，
∴點(diǎn)（n，S_n）也滿足f′（x）=x²+2x，
所以也在y=f′（x）的圖象上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)和極值的關(guān)系，以及等差數(shù)列的問(wèn)題，屬于中檔題．