Question

如圖：在幾何體ABCD-B₁C₁D₁中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，AB=a，平面B₁C₁D₁∥平面ABCD，且BB₁、CC₁、DD₁均垂直于平面ABCD，BB₁=

2

a，E、F分別為AB、CC₁的中點(diǎn)．
（1）證明：DF是異面直線DE與B₁F的公垂線；
（2）求二面角E-DF-B₁的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知可建立以DE、DC、DD₁ 分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DF是異面直線DE與B₁F的公垂線．
（2）分別求出平面EDF、平面B₁DF的法向量，利用向量法能求出二面角E-DF-B₁的平面角的余弦值．

解答： （1）證明：由已知可建立以DE、DC、DD₁ 分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系
則D（0，0，0），E（

3

2

a，0，0），
B1(

3

2

a，

1

2

a，

2

a)，F(xiàn)（0，a，

2

2

a），

DE

=(

3

2

a，0，0)，

DF

=（0，a，

2

2

a），

B1F

=（-

3

2

a，

1

2

a，-

2

2

a），
那么

DE

•

DF

=0，

B1F

•

DF

=0，
所以DE⊥DF，且B₁E⊥DF，
即DF是異面直線DE與B₁F的公垂線．
（2）解：設(shè)

n1

=（x₁，y₁，z₁），

n2

=（x₂，y₂，z₂）分別為平面EDF、平面B₁DF的法向量，
則

n1 • DE = 3 2 ax1=0 n1 • DF =ay1+ 2 2 az1=0

，
取y₁=1，得

n1

=（0，1，-

2

），
同理求得

n2

=（

3

，1，-

2

），
則cos＜

n1

，

n2

＞=

3

3 × 6

=

2

2

，
故二面角E-DF-B₁的平面角的余弦值為

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩條異面直線的公垂線的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．