Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx（ω＞0）的周期為

π

2

．
（1）求ω的值和f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設△ABC的三邊a，b，c成等比數(shù)列，且邊b所對的角為x，求此時函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換可得f（x）=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，而其周期為

π

2

，可求得ω的值，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用等比數(shù)列的性質(zhì)及余弦定理可得b²=a²+c²-2accosx=ac，再利用基本不等式可求得cosx≥

1

2

，繼而得到0＜x≤

π

3

，-

π

6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
其周期T=

2π

2ω

=

π

2

，
∴ω=2，
∴f（x）=sin（4x-

π

6

）-

1

2

；
由-

π

2

+2kπ≤4x-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）得：

kπ

2

-

π

12

≤x≤

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[

kπ

2

-

π

12

，

kπ

2

+

π

6

]（k∈Z）；
（2）∵△ABC的三邊a，b，c成等比數(shù)列，且邊b所對的角為x，
∴b²=ac，又由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosx≥2ac-2accosx（當且僅當a=c時取等號），
∴ac≥2ac-2accosx，
∴cosx≥

1

2

，由x∈（0，π），
∴0＜x≤

π

3

，-

π

6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（4x-

π

6

）≤1，-1≤sin（4x-

π

6

）-

1

2

≤

1

2

；
∴函數(shù)f（x）的值域為[-1，

1

2

]．

點評：本題考查三角恒等變換，突出考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查等比數(shù)列的性質(zhì)及余弦定理的綜合應用，屬于難題．