Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}滿足a₅-a₁=80，前4項(xiàng)和S₄=40．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an

log₃a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列{a_n}滿足a₅-a₁=80，前4項(xiàng)和S₄=40，求出a₁=1，q=3，即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）∵等比數(shù)列{a_n}滿足a₅-a₁=80，前4項(xiàng)和S₄=40
∴a₅-a₁=a₁（q⁴-1）=15，

a1(1-q4)

1-q

=40
∴a₁=1，q=3，
∴a_n=3^n-1；
（Ⅱ）b_n=

1

an

log₃a_n=（n-1）•3^1-n．
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則
T_n=1•

1

3

+2•

1

32

+…+（n-1）•3^1-n，
∴

1

3

T_n=1•

1

32

+…+（n-2）•3^1-n+（n-1）•3^-n，
兩式相減整理可得T_n=

3

4

-

2n+1

4•3n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，屬于中檔題．