Question

15．函數(shù)f（x）=x²-4x-4在區(qū)間[t，t+1]（t∈R）上的最小值記為g（t）．
（1）試寫出g（x）的函數(shù)表達式；
（2）求g（t）的最小值．

Answer 1

分析 （1）配方法化簡f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，從而分類討論以確定函數(shù)的解析式；
（2）分類討論各段上的取值范圍，從而求最小值的值．

解答 解：（1）f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，
當(dāng)t＞2時，f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，
∴g（t）=f（t）=t²-4t-4；
當(dāng)t≤2≤t+1，即1≤t≤2時，
g（t）=f（2）=-8；
當(dāng)t+1＜2，即t＜1時，f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)，
∴g（t）=f（t+1）=t²-2t-7；
從而g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t-7（t＜1）}\\{-8（1≤t≤2）}\\{{t}^{2}-4t-4（t＞2）}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)t＜1時，t²-2t-7＞-8，
當(dāng)t＞2時，t²-4t-4＞-8；
故g（t）的最小值為-8．

點評 本題考查了配方法的應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用．