Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄分別是等比數(shù)列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}對(duì)任意自然數(shù)n均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₄的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）依題意，a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列⇒（1+4d）²=（1+d）（1+13d），可求得d，繼而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；由b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，可求得q與其首項(xiàng)，從而可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n-1，b_n=3^n-1，由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，可求得c₁=b₁a₂=3，

cn

bn

=a_n+1-a_n=2（n≥2），于是可求得數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，繼而可求得c₁+c₂+…+c₂₀₁₄的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，
∵a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
又b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴q=3，b₁=1，
∴b_n=3^n-1．
（Ⅱ）∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，
∴

c1

b1

=a₂，即c₁=b₁a₂=3，
又

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=a_n（n≥2），
∴

cn

bn

=a_n+1-a_n=2（n≥2），
∴c_n=2b_n=2•3^n-1（n≥2），
∴c_n=

3，(n=1) 2•3n-1(n≥2)

．
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₄=3+2•3+2•3²+…+2•3²⁰¹³
=3+2（3+•3²+…+3²⁰¹³）
=3+2•

3(1-32013)

1-3

=3²⁰¹⁴．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查邏輯思維與綜合分析、運(yùn)算能力，屬于難題．