Question

（本題滿分16分）已知函數在處的切線與直線平行．

（1）求實數的值；

（2）若關于的方程在上恰有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍；

（3）記函數，設是函數的兩個極值點，若，且恒成立，求實數的最大值．

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由題知斜率為 ，所以函數在處的導數為，列出方程，解出

（2）構造函數，將有兩個不相等的實根轉化為函數有兩上零點；然后求導，列表，根據圖像列出不等式（3）由是函數的兩個極值點，求導得

，根據，求出或 的范圍；要求 的最大值，即求的最小值，根據，構造關于的函數，或直接構造關于的函數， 求出最值。

試題解析：【解析】
（1） 2分

∵函數在處的切線與直線平行 ∴，

解得：； 4分

（2）由（1）得，∴，即

設，

則

令，得， 列表得：

			1	（1，2）	2
	0	－	0	+
	極大值		極小值

∴當時，的極小值為，

又 7分

∵方程在上恰有兩個不相等的實數根，

∴即解得：；

（也可分離變量解） 10分

（3）解法（一）

∵，∴

∴，

∴

設，則，令，

則，∴在上單調遞減； 12分

∵，∴

∵

∴ ∴ ∴ 14分

∴當時， ∴

． 16分

解法（二）

∵，∴

∴， ∴ ∵ ∴

解得： 12分

∴

設，則

∴在上單調遞減； 14分

∴當時， ∴

． 16分

考點：導數的幾何意義，導數與不等式