已知過(guò)點(diǎn)A（-1，0）的動(dòng)直線l與圓C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，l與直線m：x+3y+6=0相交于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)l與m垂直時(shí)，求證：直線l必過(guò)圓心C；
（2）當(dāng)|PQ|=2
3
時(shí)，求直線l的方程；
（3）求證：
AM
•
AN
是定值．
考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：直線與圓
分析：（1）根據(jù)直線m的一個(gè)法向量為（1，3），求得直線l的一個(gè)方向向量，由此求得l的點(diǎn)向式方程，可得直線l過(guò)圓心．
（2）由|PQ|=2
3
得，圓心C到直線l的距離d=1，設(shè)直線l的方程為x-ny+1=0，求得n的值，可得直線l的方程．
（3）由條件求得
AM
•
AN
=
AC
•
AN
，設(shè)N（xN，yN），可得
AC
•
AN
=（xN+1+3yN）=（xN+3yN）+1．
因?yàn)辄c(diǎn)N在直線m上，可得xN+3yN=-6，從而求得
AM
•
AN
 為定值．
解答： 解：（1）因?yàn)閘與m垂直，直線m的一個(gè)法向量為（1，3），
所以直線l的一個(gè)方向向量為
d
=（1，3），所以l的方程為
x+1
1
=
y
3
，即3x-y+3=0．
所以直線l過(guò)圓心C（0，3）．
（2）由|PQ|=2
3
得，圓心C到直線l的距離d=1，
設(shè)直線l的方程為x-ny+1=0，則由d=
|1-3n|
1+n2
=1．
解得n=0，或n=
3
4
，
所以直線l的方程為x+1=0或4x-3y+4=0．
（3）因?yàn)镃M⊥l，所以
AM
•
AN
=（
AC
+
CM
）•
AN
=
AC
•
AN
+
CM
•
AN
=
AC
•
AN
．
設(shè)N（xN，yN），則
AN
=（xN+1，yN），又
AC
=（1，3），
故
AC
•
AN
=（xN+1+3yN）=（xN+3yN）+1．
因?yàn)辄c(diǎn)N在直線m上，所以 xN+3yN+6=0，即xN+3yN=-6，
所以
AM
•
AN
=
AC
•
AN
-6+1=-5 （定值）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B，滿足
OA
+
OB
=t
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1，
（1）設(shè)集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4，}，分別從集合P和集合Q中任取一個(gè)數(shù)作為a和b的值，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）若a是從區(qū)間[1，3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[1，3]任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

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已知二次函數(shù)y=-x2+（2m+2）x-（m2+4m-3），m為不小于0的整數(shù)，其圖象交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
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定義：如果數(shù)列{an}的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱{an}為“三角形”數(shù)列．對(duì)于“三角形”數(shù)列{an}，如果函數(shù)y=f（x）使得bn=f（an）仍為一個(gè)“三角形”數(shù)列，則稱y=f（x）是數(shù)列{an}的“保三角形函數(shù)”，（n∈N*）．
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（Ⅱ）已知{an}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，若f（x）=kx，（k＞1）是數(shù)列{an}的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍．

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項(xiàng)．

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