Question

已知橢圓的中心為坐標原點，長軸在x軸上，其左、右焦點分別為F₁、F₂，過橢圓的左焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為

2 6

3

，該橢圓的離心率為

6

3

，點P為橢圓上的一點．
（1）求橢圓的標準方程．
（2）若∠F₁PF₂=

π

4

，求三角形F₁PF₂的面積．
（3）若∠F₁PF₂為銳角，求P點的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知條件得

2b2

a

=

2 6

3

，

c

a

=

6

3

，由此能求出橢圓的方程．（2）記|F₁P|=m，|F₂P|=n，由橢圓的定義得m+n=2

6

由余弦定理，得m2+n2-2mncos

π

4

=42，由此能求出三角形F₁PF₂的面積．
（3）設(shè)P點的坐標為（x₀，y₀），由F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），知

F1P

=(x0，

F2P

=(x0，由此能求出P點的縱坐標的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意得

2b2

a

=

2 6

3

，

c

a

=

6

3

，
解得a²=6，b²=2，
故橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．（3分）
（2）記|F₁P|=m，|F₂P|=n，
由橢圓的定義得m+n=2

6

，①
在△F₁PF₂中，由余弦定理，得m2+n2-2mncos

π

4

=42，②
將①平方后與②作差，得mn=8-4

2

，
∴S△F1F2P=

1

2

mnsin

π

4

=2

2

-2．（8分）
（3）設(shè)P點的坐標為（x₀，y₀），
由F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），知

F1P

=(x0，

F2P

=(x0，
由∠F₁PF₂為銳角，得

F2P

•

F1P

＞0，即

x

2 0

+

y

2 0

-4＞0，
又點P在橢圓上，故

x 2 0

6

+

y 2 0

2

=1，消去x₀得

y

2 0

＜1，
故所求P點縱坐標的取值范圍是-1＜y₀＜1且y₀≠0．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，考查點的縱坐標的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意余弦定理的合理運用．