Question

1．如圖所示，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，其外接圓為圓O，點(diǎn)D為劣弧AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)D與AB的中心P的直線交圓O于另一點(diǎn)E，則$\frac{2}{3}$EP+DP的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 令PD=x，則由相交弦定理可得PB•PA=PD•PE，求出PE，$\frac{2}{3}$EP+DP=$\frac{2}{3x}$+x，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，AP=BP=1，
令PD=x，則由相交弦定理可得PB•PA=PD•PE，
∴PE=$\frac{1}{x}$，
∴$\frac{2}{3}$EP+DP=$\frac{2}{3x}$+x≥2$\sqrt{\frac{2}{3x}•x}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2}{3x}$=x，即x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{2}{3}$EP+DP的最小值為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相交弦定理、基本不等式的運(yùn)用，正確求出PE、利用基本不等式是關(guān)鍵．