Question

10．如圖，AB為圓O的切線，A為切點，過線段AB上一點C作圓O的割線CED（E在C、D之間），且∠BEC=∠DBC，求證：BC=CA．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出△BCE∽△DCB，從而BC²=EC•DC，由切割線定理得CA²=CE•CD，由此能證明BC=CA．

解答 證明：在△BCE和△DCB中，
∵∠BCE=∠DCB，∠CBE=∠CDB，
∴△BCE∽△DCB，
∴$\frac{BC}{DC}$=$\frac{EC}{BC}$，
∴BC²=EC•DC，
∵直線AB，直線CDE分別是⊙O的切線和割線，
∴由切割線定理得CA²=CE•CD，
∴BC²=CA²，
∴BC=CA．

點評 本題考查點是線段中點的證明，是中檔題，解題時要注意三角形相似和切割線定理的合理運用．