Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+3ax+a2-3，(x＜0) 2ex-(x-a)2+3，(x＞0)

，a∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點關(guān)于原點對稱，求a的范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x＞0時，f'（x）=2（e^x-x+a）從而f'（1）=0，解出即可，（2）由題意得到方程組，求出a的表達(dá)式，設(shè)h(x)=

2ex

x

（x＞0），再通過求導(dǎo)求出函數(shù)h（x）的最小值，問題得以解決．

解答： 解：（1）當(dāng)x＞0時，
f（x）=2e^x-（x-a）²+3，
f′（x）=2（e^x-x+a），
∵y=f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，即2（e-1+a）=0
解得：a=1-e，經(jīng)驗證滿足題意，
∴a=1-e．           
（2）y=f（x）的圖象上存在兩點關(guān)于原點對稱，
即存在y=2e^x-（x-a）²+3圖象上一點（x₀，y₀）（x₀＞0），
使得（-x₀，-y₀）在y=x²+3ax+a²-3的圖象上
則有

y0=2ex0-(x0-a)2+3 -y0=x02-3ax0+a 2-3

，
∴2ex0-(x0-a)2+3=-x02+3ax0-a 2+3
化簡得：a=

2ex0

x0

，即關(guān)于x₀的方程在（0，+∞）內(nèi)有解                 
設(shè)h(x)=

2ex

x

（x＞0），則h′(x)=

2ex(x-1)

x2

∵x＞0
∴當(dāng)x＞1時，h'（x）＞0；當(dāng)0＜x＜1時，h'（x）＜0
即h（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)
∴h（x）≥h（1）=2e，且x→+∞時，h（x）→+∞；x→0時，h（x）→+∞
即h（x）值域為[2e，+∞），
∴a≥2e時，方程a=

2ex0

x0

在（0，+∞）內(nèi)有解
∴a≥2e時，y=f（x）的圖象上存在兩點關(guān)于原點對稱．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)圖象的對稱性，是一道綜合題．