【題目】已知是無窮數(shù)列.給出兩個(gè)性質(zhì):

①對(duì)于中任意兩項(xiàng),在中都存在一項(xiàng),使;

②對(duì)于中任意項(xiàng),在中都存在兩項(xiàng).使得

(),判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①,說明理由;

(),判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,說明理由;

()是遞增數(shù)列,且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,證明:為等比數(shù)列.

【答案】()詳見解析;()詳解解析;()證明詳見解析.

【解析】

()根據(jù)定義驗(yàn)證,即可判斷;

()根據(jù)定義逐一驗(yàn)證,即可判斷;

()解法一:首先,證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào),然后證明,最后,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列即可.

解法二:首先假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù),然后證得成等比數(shù)列,之后證得成等比數(shù)列,同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列,從而命題得證.

()不具有性質(zhì)①;

()具有性質(zhì)①;

具有性質(zhì)②;

()解法一

首先,證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào),不妨設(shè)恒為正數(shù):

顯然,假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項(xiàng),設(shè)

第一種情況:若,即,

由①可知:存在,滿足,存在,滿足,

可知,從而,與數(shù)列的單調(diào)性矛盾,假設(shè)不成立.

第二種情況:若,由①知存在實(shí)數(shù),滿足,由的定義可知:,

另一方面,,由數(shù)列的單調(diào)性可知:,

這與的定義矛盾,假設(shè)不成立.

同理可證得數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)恒為負(fù)數(shù).

綜上可得,數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào).

其次,證明

利用性質(zhì)②:取,此時(shí),

由數(shù)列的單調(diào)性可知

,故,

此時(shí)必有,即

最后,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列:

假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)成等比數(shù)列,不妨設(shè)

其中,(的情況類似)

由①可得:存在整數(shù),滿足,且 *

由②得:存在,滿足:,由數(shù)列的單調(diào)性可知:,

可得: **

由(**)和(*)式可得:,

結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有:

注意到均為整數(shù),故

代入(**)式,從而.

總上可得,數(shù)列的通項(xiàng)公式為:.

即數(shù)列為等比數(shù)列.

解法二:

假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù):

首先利用性質(zhì)②:取,此時(shí),

由數(shù)列的單調(diào)性可知,

,故,

此時(shí)必有,即,

成等比數(shù)列,不妨設(shè),

然后利用性質(zhì)①:取,則

即數(shù)列中必然存在一項(xiàng)的值為,下面我們來證明

否則,由數(shù)列的單調(diào)性可知,

在性質(zhì)②中,取,則,從而,

與前面類似的可知?jiǎng)t存在,滿足,

,則:,與假設(shè)矛盾;

,則:,與假設(shè)矛盾;

,則:,與數(shù)列的單調(diào)性矛盾;

即不存在滿足題意的正整數(shù),可見不成立,從而,

然后利用性質(zhì)①:取,則數(shù)列中存在一項(xiàng),

下面我們用反證法來證明

否則,由數(shù)列的單調(diào)性可知

在性質(zhì)②中,取,則,從而

與前面類似的可知?jiǎng)t存在,滿足

即由②可知:,

,則,與假設(shè)矛盾;

,則,與假設(shè)矛盾;

,由于為正整數(shù),故,則,與矛盾;

綜上可知,假設(shè)不成立,則.

同理可得:,從而數(shù)列為等比數(shù)列,

同理,當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.

由推理過程易知數(shù)列中的項(xiàng)要么恒正要么恒負(fù),不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).

從而題中的結(jié)論得證,數(shù)列為等比數(shù)列.

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1)找出居民問卷得分的眾數(shù)和中位數(shù);

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A.3600B.1800C.1080D.720

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