Question

已知△ABC中，BC邊上的中線AO長為2，若動(dòng)點(diǎn)P滿足

BP

=

1

2

cos2θ 

BC

+sin2θ 

BA

（θ∈R），則（

PB

+

PC

）•

PA

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意可得點(diǎn)P在AO上，

PB

+

PC

=2

PO

，故有（

PB

+

PC

）•

PA

=2

PO

•

PA

=-2|

PO

|•|

PA

|．根據(jù)|

PO

|+|

PA

|=|AO|=2，利用基本不等式可得|

PO

|•|

PA

|的最大值，可得要求式子的最小值．

解答： 解：由題意可得

BC

=2

BO

，∵點(diǎn)P滿足

BP

=

1

2

cos2θ 

BC

+sin2θ 

BA

（θ∈R），
∴

BP

= cos2θ 

BO

+sin2θ 

BA

．
又sin²θ+cos²θ=1，所以P、A、O三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在AO上．
∵

PB

+

PC

=2

PO

，∴（

PB

+

PC

）•

PA

=2

PO

•

PA

=-2|

PO

|•|

PA

|．
∴|

PO

|+|

PA

|=|AO|=2，利用基本不等式可得|

PO

|•|

PA

|≤(

| PO |+| PA |

2

)2=1，
∴-2|

PO

|•|

PA

|≥-2，當(dāng)且僅當(dāng)|PO|=|PA|時(shí)，等號(hào)成立，
故（

PB

+

PC

）•

PA

的最小值為-2，
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式的應(yīng)用，由題意得出P、M、C三點(diǎn)共線是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．