已知△ABC中，BC邊上的中線AO長(zhǎng)為2，若動(dòng)點(diǎn)P滿足
BP
=
1
2
cos2θ 
BC
+sin2θ 
BA
（θ∈R），則（
PB
+
PC
）•
PA
的最小值是
 
．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：由題意可得點(diǎn)P在AO上，
PB
+
PC
=2
PO
，故有（
PB
+
PC
）•
PA
=2
PO
•
PA
=-2|
PO
|•|
PA
|．根據(jù)|
PO
|+|
PA
|=|AO|=2，利用基本不等式可得|
PO
|•|
PA
|的最大值，可得要求式子的最小值．
解答： 解：由題意可得
BC
=2
BO
，∵點(diǎn)P滿足
BP
=
1
2
cos2θ 
BC
+sin2θ 
BA
（θ∈R），
∴
BP
= cos2θ 
BO
+sin2θ 
BA
．
又sin2θ+cos2θ=1，所以P、A、O三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在AO上．
∵
PB
+
PC
=2
PO
，∴（
PB
+
PC
）•
PA
=2
PO
•
PA
=-2|
PO
|•|
PA
|．
∴|
PO
|+|
PA
|=|AO|=2，利用基本不等式可得|
PO
|•|
PA
|≤(
|
PO
|+|
PA
|
2
)2=1，
∴-2|
PO
|•|
PA
|≥-2，當(dāng)且僅當(dāng)|PO|=|PA|時(shí)，等號(hào)成立，
故（
PB
+
PC
）•
PA
的最小值為-2，
故答案為：-2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式的應(yīng)用，由題意得出P、M、C三點(diǎn)共線是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線l：y=x+4與圓x2+y2-3y-1=0有
 
個(gè)公共點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

與直線2x-y+4=0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC•AE=DC•AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓．若DB=BE=EA，則過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-n+1，則an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若在糖水中再放上m（m＞0）克糖，則糖水變得更甜了．根據(jù)這一事實(shí)可提煉出的不等式是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：方程
x2
m
+
y2
m-2
=1表示的曲線為橢圓；命題q：方程
x2
m-1
+
y2
m-3
=1表示的曲線為雙曲線；若p或q為真，p且q為假，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以下程序運(yùn)行后的輸出結(jié)果為（　�。�
A、21B、13C、17D、25

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log2x，f(
1
4
)等于（　�。�
A、-1B、-2C、2D、3

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