Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

，（x＞0），以點(diǎn)（n，f（n））為切點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線l_n（n≥1，n∈Z），直線x=n+1與函數(shù)y=f（x）圖象及切線l_n分別相交于A_n，B_n，記a_n=|A_nB_n|．
（Ⅰ）求切線l_n的方程及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到過點(diǎn)（n，f（n））的切線方程，和曲線聯(lián)立求得A_n，B_n的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求得a_n=|A_nB_n|；
（Ⅱ）把a(bǔ)_n代入na_n，由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為S_n，放縮證得S_n＜1．

解答： （Ⅰ）解：對f(x)=x+

1

x

，（x＞0）求導(dǎo)，得f′(x)=1-

1

x2

，
則切線l_n方程為：y-(n+

1

n

)=(1-

1

n2

)(x-n)，即y=(1-

1

n2

)x+

2

n

，
把x=n+1分別代入f(x)=x+

1

x

及y=(1-

1

n2

)x+

2

n

，
得An(n+1，n+1+

1

n+1

)，Bn(n+1，n+1+

n-1

n2

)，
由a_n=|A_nB_n|知，an=|

1

n+1

-

n-1

n2

|=

1

n2(n+1)

；
（Ⅱ）證明：∵na_n=n•

1

n2(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=1•a₁+2•a₂+…+n•a_n
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了利用放縮法證明不等式，是中檔題．