Question

19．如圖直角梯形OADC中，OA∥CD，∠D=60°，OA=1，CD=2，在梯形內(nèi)挖去一個(gè)以O(shè)A為半徑的四分之一圓，圖中陰影部分繞OC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，求該旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積．

Answer 1

分析 旋轉(zhuǎn)后幾何體是一個(gè)圓臺(tái)，從上面挖去一個(gè)半球，根據(jù)數(shù)據(jù)利用面積公式與體積公式，可求其表面積和體積．

解答 解：旋轉(zhuǎn)后幾何體是一個(gè)圓臺(tái)，從上面挖去一個(gè)半球，
∵，∠D=60°，OA=1，CD=2，
故圓臺(tái)的上底和半球的半徑為1，
圓臺(tái)的下底半徑為：2，
圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為：2，
圓臺(tái)的高為：$\sqrt{3}$，
所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成：
圓臺(tái)下底面、側(cè)面和一半球面；（3分）
S_半球=2π，S_{圓臺(tái)側(cè)}=6π，S_{圓臺(tái)底}=4π．
故所求幾何體的表面積為：2π+6π+4π=12π；（7分）
由V_圓臺(tái)=$\frac{1}{3}$π（1²+$\sqrt{{1}^{2}×{2}^{2}}$+2²]×$\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$π，（9分）
V_半球=$\frac{2}{3}$π×1³=$\frac{2}{3}$π；（11分）
所以，旋轉(zhuǎn)體的體積為V_圓臺(tái)-V_半球=$\frac{7\sqrt{3}-2}{3}$π（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查組合體的面積、體積問(wèn)題，考查空間想象能力，數(shù)學(xué)公式的應(yīng)用，是中檔題．