Question

【題目】已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，，，，對(duì)任意的，都有.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若為等差數(shù)列，對(duì)任意的，都有.證明：；

（3）若為等比數(shù)列，，，求滿足的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）1和2．

【解析】試題分析：

(1)由遞推公式可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．故的通項(xiàng)公式為．

(2)由題意，證得 即可證得結(jié)論； 據(jù)此可得．

且 ，所以．

故滿足條件的的值為1和2．

試題解析：

解:(1) 由，得，

即，所以．

由，，可知．

所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．

故的通項(xiàng)公式為．

（2）證法一：設(shè)數(shù)列的公差為，則，

由（1）知，．

因?yàn)?/span>，所以，即恒成立，

所以 即

又由，得，

所以．

所以，得證．

證法二：設(shè)的公差為，假設(shè)存在自然數(shù)，使得，

則，即，

因?yàn)?/span>，所以．

所以，

因?yàn)?/span>，所以存在，當(dāng)時(shí)，恒成立．

這與“對(duì)任意的，都有”矛盾！

所以，得證．

（3）由（1）知，．因?yàn)?/span>為等比數(shù)列，且，，

所以是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．

所以，．

則，

因?yàn)?/span>，所以，所以．

而，所以，即（*）．

當(dāng)時(shí)，（*）式成立；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，

則，

所以．

故滿足條件的的值為1和2．