【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和Sn滿足6Sn=an2+3an+2,且a1 , a2 , a6是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)記Tn=a1b1+a2b2+…+anbn , n∈N*,求Tn .
【答案】
(1)解:由題意得:因?yàn)?Sn=an2+3an+2①,所以6Sn﹣1=an﹣12+3an﹣1+2②,
所以②﹣①得:6Sn﹣6Sn﹣1=an2+3an+2﹣an﹣12+3an﹣1+2,
所以3an+3an﹣1=(an+an﹣1)(an﹣an﹣1),
又因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列{an},所以an+an﹣1>0,
所以an﹣an﹣1=3,
當(dāng)n=1時(shí),6S1=a12+3a1+2,
所以a1=1或2,
又因?yàn)閍1=2時(shí),a2=2+3=5,a6=2+5*3=17,顯然a1,a2,a6不是等比數(shù)列,
所以a1=1,
所以an=a1+(n﹣1)d=3n﹣2;
又因?yàn)閍1,a2,a6是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng),
所以a2=4,a6=16,
所以q=4,
所以bn}=a1*qn﹣1=4n﹣1
(2)解:由(1)可知anbn=(3n﹣2)*4n﹣1,
所以Tn=a1b1+a2b2+…+an﹣1bn﹣1+anbn=1*41+4*42+…+(3n﹣5)*4n﹣2+(3n﹣2)*4n﹣1①,
所以4Tn=1*42+4*43+…+(3n﹣5)*4n﹣1+(3n﹣2)*4n②,
所以①﹣②得:(1﹣4)Tn=1*41+3*42+3*43…+3*4n﹣1﹣(3n﹣2)*4n,
所以﹣3Tn=1*41+3* ﹣(3n﹣2)*4n,
所以Tn= +(n﹣1)4n
【解析】(1)由題意得,利用an=Sn﹣Sn﹣1 , 求出數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1 , a2 , a6是等比數(shù)列求出首項(xiàng)為1,即可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng);a1 , a2 , a6是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)求出其公比,即求出{bn}的通項(xiàng)公式;(2)由(1)可知數(shù)列{anbn}的通項(xiàng)公式,再由錯(cuò)位相減求和法求出Tn .
【考點(diǎn)精析】掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(及其變式)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(及其變式)是解答本題的根本,需要知道通項(xiàng)公式:或;通項(xiàng)公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若方程所表示的曲線為C,給出下列四個(gè)命題:
①若C為橢圓,則1<t<4且t≠;
②若C為雙曲線,則t>4或t<1;
③曲線C不可能是圓;
④若C表示橢圓,且長(zhǎng)軸在x軸上,則1<t<.
其中正確的命題是________(把所有正確命題的序號(hào)都填在橫線上).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為,,,,對(duì)任意的,都有.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若為等差數(shù)列,對(duì)任意的,都有.證明:;
(3)若為等比數(shù)列,,,求滿足的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時(shí),過(guò)原點(diǎn)分別做曲線 與的切線,,若兩切線的斜率互為倒數(shù),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠用甲、乙兩種不同工藝生產(chǎn)一大批同一種零件,零件尺寸均在[21.7,22.3](單位:cm)之間,把零件尺寸在[21.9,22.1)的記為一等品,尺寸在[21.8,21.9)∪[22.1,22.2)的記為二等品,尺寸在[21.7,21.8)∪[22.2,22.3]的記為三等品,現(xiàn)從甲、乙工藝生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品,所得零件尺寸的頻率分布直方圖如圖所示.
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.01 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
附:
(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表,根據(jù)此數(shù)據(jù),你認(rèn)為選擇不同的工藝與生產(chǎn)出一等品是否有關(guān)?
甲工藝 | 乙工藝 | 總計(jì) | |
一等品 | |||
非一等品 | |||
總計(jì) |
(2)以上述各種產(chǎn)品的頻率作為各種產(chǎn)品發(fā)生的概率,若一等品、二等品、三等品的單件利潤(rùn)分別為30元、20元、15元,你認(rèn)為以后該工廠應(yīng)該選擇哪種工藝生產(chǎn)該種零件?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】兩個(gè)分類變量X和Y,值域分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)分別是a=10,b=21,c+d=35.若X與Y有關(guān)系的可信程度不小于97.5%,則c等于( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓過(guò)圓與直線的交點(diǎn),且圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓與軸正半軸的交點(diǎn)為,直線與圓交于兩點(diǎn),且點(diǎn)是的垂線(垂心是三角形三條高線的交點(diǎn)),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把下列各命題作為原命題,分別寫(xiě)出它們的逆命題、否命題和逆否命題.
(1)若α=β,則sin α=sin β;
(2)若對(duì)角線相等,則梯形為等腰梯形;
(3)已知a,b,c,d都是實(shí)數(shù),若a=b,c=d,則a+c=b+d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷(xiāo),得到如下數(shù)據(jù):
單價(jià)x(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
銷(xiāo)量y(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
單價(jià)x(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
銷(xiāo)量y(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)求回歸直線方程,其中, ;
(2)預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中,銷(xiāo)量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤(rùn),該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元?(利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本)
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