Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁=1
（1）證明數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出2a_n=a_n+1-2ⁿ，由此能證明{

an

2n

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列．
（2）an=

1

2

n•2n=n•2^n-1．由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）證明：∵S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（a_n+1-2ⁿ⁺¹+1）-（a_n-2ⁿ+1），
整理，得2a_n=a_n+1-2ⁿ，
∴

2an

2n+1

=

an+1

2n+1

-

2n

2n+1

，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，
∵

a1

21

=

1

2

，
∴{

an

2n

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列．
（2）解：∵{

an

2n

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列，
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

1

2

n，
∴an=

1

2

n•2n=n•2^n-1．
∴S_n=2⁰+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1，①
2S_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ，②
①-②，得-S_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2n
=2ⁿ-1-n•2ⁿ．
∴Sn=(n-1)•2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．