Question

18．已知雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A，與x軸平行的直線交Γ于B，C兩點，記$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=m，若Γ的離心率為$\sqrt{2}$，則m的取值的集合是{0}．

Answer 1

分析 利用Γ的離心率為$\sqrt{2}$，可得a=b，雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1化為x²-y²=a²，利用向量的數(shù)量積公式，即可得出結論．

解答 解：∵Γ的離心率為$\sqrt{2}$，
∴a=b，∴雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1化為x²-y²=a²，
設B（-x，y），C（x，y），A（a，0），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（-x-a，y）•（x-a，y）=a²-x²+y²=0，
∴m=0．
故答案為：{0}．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查向量的數(shù)量積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．