Question

【題目】已知.

（1）若，求的取值范圍；

（2）若，的圖像與軸圍成的封閉圖形面積為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）a≤－1（2）4＋8．

【解析】

（1）由絕對值三角不等式求的最小值即可求解；（2）去絕對值化簡f(x)，得到與軸圍成的封閉圖形為等腰梯形，再利用梯形面積公式及基本不等式求解即可

（1）因為|ax＋1|＋|ax－1|≥|(ax＋1)－(ax－1)|＝2，

等號當(dāng)且僅當(dāng)(ax＋1)(ax－1)≤0時成立，

所以f(x)的最小值為2－2a－4＝－2a－2．

依題意可得，－2a－2≥0，

所以a≤－1．

（2）因為a＞0，f(x)＝|ax＋1|＋|ax－1|－2a－4，

所以f(x)＝

所以y＝f(x)的圖像與x軸圍成的封閉圖形為等腰梯形ABCD，如圖所示

且頂點為A(－1－，0)，B(1＋，0)，C(，－2a－2)，D(－，－2a－2)

從而S＝2(1＋)(a＋1)＝2(a＋)＋8．

因為a＋≥2，等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝時成立，

所以當(dāng)a＝時，S取得最小值4＋8．