Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

與x=1時都取得極值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若對x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求實數(shù)c的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有3個交點，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導f′（x）=3x²+2ax+b；代入x=-

2

3

與x=1求a，b的值；
（Ⅱ）f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，x∈[-1，2]，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值，從而得到c²＞f（2）=2+c，從而求實數(shù)c的取值范圍；
（Ⅲ）解：當x=1時有極小值f（1）=1-

1

2

-2+c=-

3

2

+c；結合極大值及函數(shù)的圖象求解實數(shù)c的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x³+ax²+bx+c，
f′（x）=3x²+2ax+b；
由f′（-

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，
f′（1）=3+2a+b=0聯(lián)立解得，
a=-

1

2

，b=-2；
（Ⅱ）f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，x∈〔-1，2〕，當x=-

2

3

時，f（x）=

22

27

+c為極大值，
而f（2）=2+c，
則f（2）=2+c為最大值．
要使f（x）＜c²（x∈〔-1，2〕）恒成立，
只需c²＞f（2）=2+c，
解得c＜-1或c＞2．
（Ⅲ）解：當x=1時有極小值f（1）=1-

1

2

-2+c=-

3

2

+c；
故-

3

2

+c＜0＜

22

27

+c；
故-

22

27

＜c＜

3

2

．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．