Question

在直角梯形ABCD中∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿對角線AC折起后如圖所示（點(diǎn)D記為點(diǎn)P），點(diǎn)P在平面ABC上的正投影E落在線段AB上，連接PB．若F是AC的中點(diǎn)，連接PF，EF．
（1）求證：AC⊥平面PEF．
（2）求直線PC與平面PAB所成的角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得PF⊥AC，由點(diǎn)E為點(diǎn)P在平面ABC上的正投影，可得PE⊥平面ABC，得到PE⊥AC，再利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）由PE⊥平面ABC，可得PE⊥BC，而已知BC⊥AB，即可證明BC⊥平面PAB，可得∠CPB為直線PC與平面PAB所成的角．利用已知可得BC及PC的長，進(jìn)而即可求出．

解答： 解：（1）∵PA=PC，∴PF⊥AC．
∵點(diǎn)E為點(diǎn)P在平面ABC上的正投影，∴PE⊥平面ABC，
∴PE⊥AC．
∵PF∩PE=P．PF?平面PEF，PE?平面PEF，
∴AC⊥平面PEF．
（2）∵∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1．
∴AB=

BC

tan30°

=

3

，AC=2，∠DAC=60°．
∴AD=CD=AC=2．
∵PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC．
∵BC⊥AB，PE∩AB=E，PE?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠CPB為直線PC與平面PAB所成的角．
在Rt△CBP中，BC=1，PC=DC=2，
∴sin∠CPB=

BC

PC

=

1

2

．
∵0°＜∠CPB＜90°，∴∠CPB=30°．
∴直線PC與平面PAB所成的角為 30°．

點(diǎn)評：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、正投影的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、線面角的定義、等邊三角形的判定、含30°的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．