Question

記Z=（x-y）²+（

2

x

+

y

2

）²（x≠0，x，y∈R），則Z的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：Z=（x-y）²+（

2

x

+

y

2

）²表示點(diǎn)A（x，

2

x

），B（y，-

y

2

），兩點(diǎn)之間距離的平方，點(diǎn)A的軌跡方程是y=

2

x

，點(diǎn)B的軌跡方程是y=-

x

2

，求出平行于y=-

x

2

與y=

2

x

相切的直線方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：Z=（x-y）²+（

2

x

+

y

2

）²表示點(diǎn)A（x，

2

x

），B（y，-

y

2

），兩點(diǎn)之間距離的平方，
點(diǎn)A的軌跡方程是y=

2

x

，點(diǎn)B的軌跡方程是y=-

x

2

，
設(shè)平行于y=-

x

2

與y=

2

x

相切的直線方程為y=-

x

2

+b，
由y=

2

x

，可得y′=-

2

x2

，
令-

2

x2

=-

1

2

，可得x=±2，
∴y=±1，
代入y=-

x

2

+b，可得b=±2，
∴兩點(diǎn)之間距離的最小值是

|b|

1 4 +1

=

4

5

，
∴Z的最小值是

16

5

．
故答案為：

16

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的切線方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確理解Z=（x-y）²+（

2

x

+

y

2

）²表示點(diǎn)A（x，

2

x

），B（y，-

y

2

），兩點(diǎn)之間距離的平方是關(guān)鍵．