Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cosx的圖象在點A（x₀，f（x₀））處的切線斜率為$\frac{1}{2}$，求tanx₀的值．

Answer 1

分析 先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后令f′（x₀）=1，求出x₀的值后再求其正切值即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cosx
∴f′（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（x-$\frac{π}{6}$）
又因為f′（x₀）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴sin（x₀-$\frac{π}{6}$）=0，x0=$\frac{π}{6}$+2kπ （k∈Z）；x₀=$2kπ+\frac{5π}{6}$，（k∈Z）．
∴tanx₀=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值等于在該點處切線的斜率．