Question

在等差數(shù)列{a_n}中，滿足3a₅=5a₈，S_n是數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和．
（1）若a₁＞0，當(dāng)S_n取得最大值時(shí)，求n的值；
（2）若a₁=-46，記b_n=n（a_n+40），求證：數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，由3a₅=5a₈得到公差和首項(xiàng)的關(guān)系，把前n項(xiàng)和用首項(xiàng)表示，配方后求得S_n取得最大值時(shí)n的值；
（2）由a₁=-46求出{a_n}的通項(xiàng)公式，代入b_n=n（a_n+40）后作差法證明數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列．

解答： （1）解：設(shè){a_n}的公差為d，則
由3a₅=5a₈，得3（a₁+4d）=5（a₁+7d），
∴d=-

2

23

a1，
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

×(-

2

23

a1)
=-

1

23

a1n2+

24

23

a1n
=-

1

23

a₁（n-12）²+

144

23

a₁．
∵a₁＞0，
∴當(dāng)n=12時(shí)，S_n取得最大值；
（2）證明：由（1）及a₁=-46，得d=-

2

23

×（-46）=4，
∴a_n=-46+（n-1）×4=4n-50，
則b_n=n（a_n+40）=n（4n-50+40）=4n²-10n．
∵bn+1-bn=4(n+1)2-10(n+1)-4n2+10n=8n-6≥8×1-6=2＞0．
故數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了等差數(shù)列前n項(xiàng)和最大值的求法，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中低檔題．