Question

已知函數(shù)y=sin2x+acosx+

5

8

a-

3

2

在0≤x≤

π

2

上的最大值為1，求a的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：化正弦為余弦，然后配方，對

a

2

分類后求解函數(shù)的最大值，由最大值等于1求解a的值．

解答： 解：y=sin2x+acosx+

5

8

a-

3

2

=-cos2x+acosx+

5

8

a-

1

2

=-(cosx-

a

2

)2+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

．
∵0≤x≤

π

2

，
∴0≤cosx≤1
（1）當

a

2

＞1，即a＞2時，則當cosx=1時，函數(shù)取得最大值為

13a

8

-

3

2

，
由

13a

8

-

3

2

=1，解得a=

20

13

（不合題意，舍去）；
（2）當

a

2

＜0，即a＜0時，則當cosx=0時，函數(shù)取得最大值為

5a

8

-

1

2

，
由

5a

8

-

1

2

=1，解得a=

12

5

（不合題意，舍去）
（3）當0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2時，則當cosx=

a

2

時，函數(shù)取得最大值為

a2

4

+

5a

8

-

1

2

，
由

a2

4

+

5a

8

-

1

2

=1，整理，得2a²+5a-12=0，解得a=

3

2

或a=-4（不合題意）
綜上所述，所求a的值為

3

2

．

點評：本題考查了利用配方法求三角函數(shù)的最值，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，關鍵是做到正確分類，是中檔題．