【題目】設(shè) （n∈N*，an∈Z，bn∈Z）．
（1）求證：an2﹣8bn2能被7整除；
（2）求證：bn不能被5整除．

【答案】
（1）證明：（ 1+2 ）2n+1 + （2 ）+ （2 ）2+…+ （2 ）2n+1，

（1﹣2 ）2n+1= ﹣ （2 ）+ （2 ）2+…﹣ （2 ）2n+1，

由（1+2 ）2n+1=an+2 bn，（1﹣2 ）2n+1=an﹣2 bn，

（1+2 ）2n+1（1﹣2 ）2n+1=（an+2 bn）（an﹣2 bn），

即an2﹣8bn2=﹣72n+1，

∴an2﹣8bn2能被7整除；


（2）由an2﹣8bn2=﹣72n+1，則8bn2=an2+72n+1，

由72n=49n=（50﹣1）n= ×50n+ ×50n﹣1×（﹣1）1+…+ ×50×（﹣1）n﹣1+ ×（﹣1）n，

除最后一項(xiàng)都是5的倍數(shù)，

∴72n+1的余數(shù)是2或﹣2，

由an2的是平方數(shù)，其尾數(shù)為0，1，4，5，6，9，

∴an2+72n+1的尾數(shù)不可能是0或5，

∴an2+72n+1不能被5整除，

即8bn2不能被5整除，

∴bn不能被5整除．


【解析】（1）利用二項(xiàng)式定理展開（ 1+2）2n+1與（ 1-2）2n+1得到（1+2）2n+1=an+2bn，（1﹣2）2n+1=an﹣2bn，即可證明；（2）利用尾數(shù)為0或5的數(shù)能被5整除進(jìn)行證明.

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【題目】定義某種運(yùn)算S=ab，運(yùn)算原理如圖所示，則式子[（2tan ）lg ]+[lne（ ）﹣1]的值為（ ）
A.4
B.8
C.10
D.13

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【題目】已知函數(shù)f（x）= 設(shè)方程f（x）=2﹣x+b（b∈R）的四個(gè)實(shí)根從小到大依次為x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， 對(duì)于滿足條件的任意一組實(shí)根，下列判斷中一定成立的是（　�。�
A.x1+x2=2
B.e2＜x3x4＜（2e﹣1）2
C.0＜（2e﹣x3）（2e﹣x4）＜1
D.1＜x1x2＜e2

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【題目】已知拋物線C：y=2x2 ， 直線l：y=kx+2交C于A、B兩點(diǎn)，M是AB 的中點(diǎn)，過M作x 軸的垂線交C于N點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：拋物線C在N 點(diǎn)處的切線與AB 平行；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使以AB為直徑的圓M經(jīng)過N點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P（0，1）且互相垂直的兩條直線分別與
圓O：x2+y2=4交于點(diǎn)A，B，與圓M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1交于點(diǎn)C，D．

（1）若 ，求CD的長；
（2）若CD中點(diǎn)為E，求△ABE面積的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù) ， ．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）已知銳角△ABC的兩邊長a，b分別為函數(shù)f（x）的最小值與最大值，且△ABC的外接圓半徑為 ，求△ABC的面積．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的普通方程為x﹣y﹣2=0，曲線C的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)），設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的最大面積．

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【題目】設(shè)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn ， 且a1a5=64，S5﹣S3=48．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)有正整數(shù)m，l（5＜m＜l），使得am ， 5a5 ， al成等差數(shù)列，求m，l的值；
（3）設(shè)k，m，l∈N*，k＜m＜1，對(duì)于給定的k，求三個(gè)數(shù) 5ak ， am ， al經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列的充要條件．

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（Ⅰ）求曲線C 的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)l1：θ= ，l2：θ= ，若l 1、l2與曲線C 相交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn) A、B，求△AOB的面積．

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