【題目】已知函數(shù)f(x)=4x﹣a2x+1+a+1,a∈R.
(1)當(dāng)a=1時(shí),解方程f(x)﹣1=0;
(2)當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)<0恒成立,求a的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:a=1時(shí),f(x)=4x﹣22x+2,

f(x)﹣1=(2x2﹣2(2x)+1=(2x﹣1)2=0,

∴2x=1,解得:x=0


(2)解:4x﹣a(2x+1﹣1)+1>0在(0,1)恒成立,

a(22x﹣1)<4x+1,

∵2x+1>1,

∴a> ,

令2x=t∈(1,2),g(t)= ,

則g′(t)= = =0,

t=t0,∴g(t)在(1,t0)遞減,在(t0,2)遞增,

而g(1)=2,g(2)= ,

∴a≥2


(3)解:若函數(shù)f(x)有零點(diǎn),

則a= 有交點(diǎn),

由(2)令g(t)=0,解得:t= ,

故a≥


【解析】(1)將a=的值代入,將2x看作一個(gè)整體,解出2x的值,從而求出x的值即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為a> ,令2x=t∈(1,2),g(t)= ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g(t)的最大值,從而求出a的范圍即可;(3)問題轉(zhuǎn)化為a= 有交點(diǎn),根據(jù)(2)求出a的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知命題R,p:x∈R使 ,命題q:x∈R都有x2+x+1>0,給出下列結(jié)論:
①命題“p∧q”是真命題
②命題“命題“p∨q”是假命題
③命題“p∨q”是真命題
④命題“p∨q”是假命題
其中正確的是( )
A.②④
B.②③
C.③④
D.①②③

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【題目】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是(
A.
B.y=x2
C.y=﹣x|x|
D.y=x2

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【題目】在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,偏差是指個(gè)別測(cè)定值與測(cè)定的平均值之差,在成績統(tǒng)計(jì)中,我們把某個(gè)同學(xué)的某科考試成績與該科班平均分的差叫某科偏差,班主任為了了解個(gè)別學(xué)生的偏科情況,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)偏差(單位:分)與物理偏差(單位:分)之間的關(guān)系進(jìn)行學(xué)科偏差分析,決定從全班56位同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析,得到他們的兩科成績偏差數(shù)據(jù)如下:

學(xué)生序號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

數(shù)學(xué)偏差

20

15

13

3

2

-5

-10

-18

物理偏差

6.5

3.5

3.5

1.5

0.5

-0.5

-2.5

-3.5

(1)已知之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;

(2)若這次考試該班數(shù)學(xué)平均分為118分,物理平均分為90.5,試預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)成績126分的同學(xué)的物理成績.

參考公式: ,

參考數(shù)據(jù): , .

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【題目】隨著生活水平的提高,人們對(duì)空氣質(zhì)量的要求越來越高,某機(jī)構(gòu)為了解公眾對(duì)“車輛限行”的態(tài)度,隨機(jī)抽查,并將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:

年齡(歲)

頻數(shù)

贊成人數(shù)

(1)世界聯(lián)合國衛(wèi)生組織規(guī)定: 歲為青年, 為中年,根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫以下列聯(lián)表:

青年人

中年人

合計(jì)

不贊成

贊成

合計(jì)

(2)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下,認(rèn)為贊成“車柄限行”與年齡有關(guān)?

附: ,其中

獨(dú)立檢驗(yàn)臨界值表:

(3)若從年齡的被調(diào)查中各隨機(jī)選取人進(jìn)行調(diào)查,設(shè)選中的兩人中持不贊成“車輛限行”態(tài)度的人員為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.向量 =(a, b)與 =(cosA,sinB)平行.
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(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和Sn;
(2)證明不等式 且n∈N*

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【題目】對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本,得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下:

分組

頻數(shù)

頻率

10

0.25

25

2

0.05

合計(jì)

1

(1)求出表中及圖中的值;

(2)試估計(jì)他們參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù);

(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.

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