Question

若函數(shù)f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；  ②對于定義域上的任意x₁，x₂，當(dāng)x₁≠x₂時，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)中：
（1）f（x）=

1

x

   
（2）f（x）=x²  
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

 
（4）f（x）=

-x2   x≥0 x2    x＜0

，
能被稱為“理想函數(shù)”的有______（填相應(yīng)的序號）．

Answer 1

依題意，性質(zhì)①反映函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)，性質(zhì)②反映函數(shù)f（x）為定義域上的單調(diào)減函數(shù)，
（1）f（x）=

1

x

為定義域上的奇函數(shù)，但不是定義域上的單調(diào)減函數(shù)，其單調(diào)區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），故排除（1）；


（2）f（x）=x² 為定義域上的偶函數(shù)，排除（2）；
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，定義域為R，由于y=2^x+1在R上為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，排除（3）；
（4）f（x）=

-x2   x≥0 x2    x＜0

的圖象如圖：顯然此函數(shù)為奇函數(shù)，且在定義域上為減函數(shù)，故（4）為理想函數(shù)
故答案為 （4）