Question

在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=sinθ

（θ參數(shù)），直線L的極坐標方程為ρ=

3 2

cosθ+2sinθ

（Ⅰ）寫出曲線C的普通方程與直線L的直角坐標方程．
（Ⅱ）P為曲線C上一點，求P到直線L距離的最小值．

Answer 1

考點：橢圓的參數(shù)方程,簡單曲線的極坐標方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程，根據(jù)極坐標和直角坐標的互化公式把直線L的極坐標方程化為直角坐標方程．
（Ⅱ）設曲線C上任一點為P（2cosθ，sinθ），求得它到直線的距離為d=

|2 2 sin(θ+ π 4 )-3 2 |

5

，再根據(jù)正弦函數(shù)的值域求得d的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）把曲線C的參數(shù)方程

x=2cosθ y=sinθ

化為普通方程是

x2

4

+y2=1，
把直線L的極坐標方程ρ=

3 2

cosθ+2sinθ

化為 ρ(cosθ+2sinθ)=3

2

，
即直線L的直角坐標方程是x+2y-3

2

=0．
（Ⅱ）設曲線C上任一點為P（2cosθ，sinθ），
它到直線的距離為d=

|2cosθ+2sinθ-3 2 |

12+22

=

|2 2 sin(θ+ π 4 )-3 2 |

5

，
當sin(θ+

π

4

)=1時，dmin=

10

5

．

點評：本題主要考查把、參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．