Question

已知圓C：x²+y²-2y-4=0，直線l：y=mx+1-m；
（1）求證：對任意m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點；
（2）求l與圓C交于A，B兩點，若|AB|=

17

，求l的傾斜角．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由直線系方程求得直線過定點，再由定點在圓內(nèi)得結(jié)論；
（2）由弦長及圓的半徑求得弦心距，再由圓心到直線的距離列式求得m的值，則直線l的傾斜角可求．

解答： （1）證明：圓C：x²+y²-2y-4=0可化為：x²+（y-1）²=5．
由直線l：y=mx+1-m，得m（x-1）-y+1=0，
由

x-1=0 -y+1=0

，得

x=1 y=1

．
∴直線l：mx-y+1-m=0過定點P（1，1），
代入圓C：x²+（y-1）²=5，得1²+（1-1）²=1＜5，
∴點P（1，1）在圓C：x²+（y-1）²=5內(nèi)部，
∴對任意的m，直線l與圓C總有兩個不同的交點；
（2）解：當直線l的斜率不存在時，直線方程為x=1，代入圓x²+（y-1）²=5得：y₁=-1，y₂=3，
此時|AB|=4，不滿足題意；
∴直線l的斜率存在，
由|AB|=

17

，圓的半徑為

5

，得圓心到直線l：mx-y+1-m=0的距離為

5- 17 4

=

3

2

．
則

|-m|

m2+1

=

3

2

，解得：m=±

3

．
∴直線l的傾斜角為60°或120°．

點評：本題考查了直線與圓的方程的應用，考查了直線系方程，考查了直線與圓的位置關系，訓練了點到直線的距離公式的用法，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．