Question

15．如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，且∠DAB=60°，△PAB是邊長為a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知點M是PD的中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AMC；
（Ⅱ）求直線BD與平面AMC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ABCD為菱形，OB=CD，OM∥PB，由直線PB不在平面AMC內(nèi)，PB∥PCM；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求得平面AMC的法向量為$\overrightarrow{n}$，設直線BD與$\overrightarrow{n}$所成的角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{丨\overrightarrow{n}丨•丨\overrightarrow{PB}丨}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$，即可求得直線BD與平面AMC所成角的正弦值．

解答 解：證明：（Ⅰ）連結(jié)BD交AC于O，連接OM，
由ABCD為菱形，OB=CD，
∴OM∥PB，…（2分）
由直線PB不在平面AMC內(nèi)，
OM?平面AMC，…（3分）
∴PB∥PCM．…（4分）
（Ⅱ）取AB的中點N，連接PN，ND，則∠AND=90°，

分別以NB，ND，NP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，…（6分）
則B（$\frac{a}{2}$，0，0），C（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0），A（-$\frac{a}{2}$，0，0），C（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$），M（0，$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，$\frac{\sqrt{3}}{4}a$），
則$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{3}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，$\frac{\sqrt{3}}{4}a$），…（7分）
設平面AMC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}ax+\frac{\sqrt{3}}{2}ay=0}\\{\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{4}ay+\frac{\sqrt{3}}{4}az=0}\end{array}\right.$，…（8分）
令y=$\sqrt{3}$，則x=-1，z=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），…（10分）
又$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0），
設直線BD與$\overrightarrow{n}$所成的角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{丨\overrightarrow{n}丨•丨\overrightarrow{PB}丨}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$，
故直線BD與平面AMC所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．…（12分）

點評 本題考查了線面平行的判定，空間向量的應用與二面角的計算，考查計算能力，屬于中檔題．