Question

如圖，在四邊形ABCD中，DA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥CD，AF⊥DB，求證：
（1）EF⊥DC；
（2）平面DBC⊥平面AEF．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)要證明線線垂直，只需要證線面垂直，要證線面垂直，需要證明線垂直面內(nèi)的兩條相交直線．
（2）先根據(jù)條件得到DA⊥BC進而得BC⊥平面DAB，把問題轉(zhuǎn)化為證AF⊥平面DBC即可

解答： 證明：（1）∵DA⊥平面ABC，BC?平面ABC
∴DA⊥BC，
又BC⊥AB，AB∩AD=A
∴BC⊥平面ABD，
又AF?平面ABD，
∴BC⊥AF，
∵AF⊥DB，BC∩BD=B，
∴AF⊥平面BCD，
∵CD?平面BCD，
∴AF⊥CD，
∵AE⊥CD，AF∩AE=A
∴CD⊥平面AEF，
∵EF?平面AEF
∴CD⊥EF．
（2）由（1）可得AF⊥平面BCD
而AE?平面AEF
∴平面AEF⊥平面PBC

點評：本題主要考察面面垂直和線面垂直的判定，關(guān)鍵是它們之間的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．