（文）已知中心在原點(diǎn)O，左焦點(diǎn)為F1（-1，0）的橢圓C的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，F(xiàn)1到直線AB的距離為
7
7
|OB|．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過P（3，0）的直線l交橢圓C于R、S兩點(diǎn)，交直線x=1于Q點(diǎn)，若|PQ|是|PR|、|PS|的等比中項(xiàng)，求直線l的方程；
（3）圓D以橢圓C的兩焦點(diǎn)為直徑，圓D的任意一條切線m交橢圓C于兩點(diǎn)M、N，試求弦長(zhǎng)|MN|的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）確定直線AB方程，利用F1到直線AB的距離為
7
7
|OB|，結(jié)合b2=a2-1，求出橢圓的幾何量，即可求橢圓C1的方程；
（2）分類討論，設(shè)直線l方程為：x=my+3，代人橢圓C1的方程，利用|PQ|是|PR|、|PS|的等比中項(xiàng)，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求出直線l的方程；
（3）確定圓D的方程，分類討論，設(shè)方程y=kx+b代人橢圓C方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求弦長(zhǎng)|MN|的取值范圍．
解答： 解：（1）設(shè)橢圓C方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）
∴直線AB方程為：
x
-a
+
y
b
=1…1分
∴F1（-1，0）到直線AB距離為d=
|b-ab|
a2+b2
=
7
7
b，
∴a2+b2=7（a-1）2…2分
又b2=a2-1，解得：a=2，b=
3
…3分
故：橢圓C方程為：
x2
4
+
y2
3
=1．…4分
（2）當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，|PQ|=2，而|PR|•|PS|=1×5=5，∴|PQ|2≠|(zhì)PR|•|PS|
故可設(shè)直線l方程為：x=my+3，…5分
代人橢圓C的方程，得：3（my+3）2+4y2=12，即：（3m2+4）y2+18my+15=0
∴△=（18m）2-4×15（3m2+4）=48（3m2-5）
記R（x1，y1），S（x2，y2），Q（x0，y0），
∴y1y2=
15
3m2+4
，y0=-
2
m
…7分
∵|PQ|2=|PR|•|PS|，即
|PR|
|PQ|
=
|PQ|
|PS|
⇒
y1
y0
=
y0
y2
，∴y1y2=
y
2
0

∴
15
3m2+4
=
4
m2
，解得：m2=
16
3
，符合△＞0，
∴m=±
4
3
3
…9分
故直線l的方程為x=±
4
3
3
y+3，即：y=±
3
4
(x-3)…10分
（3）橢圓C的兩焦點(diǎn)為F1（-1，0）、F2（1，0），∴圓D的方程為：x2+y2=1
①若切線m垂直于x軸，則其方程為：x=±1，易求得|MN|=3…11分
②若切線m不垂直于x軸，可設(shè)其方程為：y=kx+b
∴
|b|
k2+1
=1，
∴b2=k2+1
將y=kx+b代人橢圓C方程，得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0
∴△=（8kb）2-4（3+4k2）（4b2-12）=48（4k2+3-b2）=48（3k2+2）＞0（*）…13分
記M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x3，y3）、（x4，y4）
此時(shí)：x3+x4=-
8kb
3+4k2
，x3x4=
4b2-12
3+4k2
⇒|x3-x4|=
4
3(4k2+3-b2)
3+4k2

∴|MN|=
1+k2
×
4
3(4k2+3-b2)
3+4k2
=
1+k2
×
4
3(3k2+2)
3+4k2
…15分
令3+4k2=t，所以t≥3，k2=
t-3
4

∴|MN|=f(t)=
t+1
4
×
4
3×
3t-1
4
t
=
3(t+1)(3t-1)
t
=
3(-
1
t2
+
2
t
+3)
，
t≥3⇒0＜
1
t
≤
1
3
⇒3＜-
1
t2
+
2
t
+3≤
32
9
⇒3＜|MN|≤
4
6
3
…17分
綜合①②，得：弦長(zhǎng)|MN|的取值范圍為[3，
4
6
3
]．…18分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查弦長(zhǎng)公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P是圓x2+y2=4上的任意一點(diǎn)，過P作x軸的垂線段PD，D為垂足，M是線段PD上的點(diǎn)，且滿足|DM|=m|PD|（0＜m＜1），當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C的左焦點(diǎn)F作斜率為
2
2
的直線l交曲線C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足
OA
+
OB
+
OQ
=
0
，是否存在實(shí)數(shù)m，使得點(diǎn)Q在曲線C上，若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|-4＜x＜2}，B={x|x＜-5或x＞1}，C={x|m-1＜x＜m+1}．
（1）求A∪B，A∩（∁RB）；
（2）若B∩C=∅，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
1+tan(π+α)
1+tan(2π-α)
=3+2
2
，求cos2(π-α)+sin(
3π
2
+α)cos(
π
2
+α)+2sin2（α-π）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=x+
4
x
的定義域，值域，單調(diào)區(qū)間并畫出函數(shù)大致圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和為14，且a1，a3，a7恰為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)．
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（2）記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Kn，設(shè)cn=
SnTn
Kn
，求證：cn+1＞cn（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理）已知中心在原點(diǎn)O，左焦點(diǎn)為F1（-1，0）的橢圓C1的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，F(xiàn)1到直線AB的距離為
7
7
|OB|．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）過點(diǎn)P（3，0）作直線l，使其交橢圓C1于R、S兩點(diǎn)，交直線x=1于Q點(diǎn)．問：是否存在這樣的直線l，使|PQ|是|PR|、|PS|的等比中項(xiàng)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
（3）若橢圓C1方程為：
x2
m2
+
y2
n2
=1（m＞n＞0），橢圓C2方程為：
x2
m2
+
y2
n2
=λ（λ＞0，且λ≠1），則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓．已知C2是橢圓C1的3倍相似橢圓，若直線y=kx+b與兩橢圓C1、C2交于四點(diǎn)（依次為P、Q、R、S），且
PS
+
RS
=2
QS
，試研究動(dòng)點(diǎn)E（k，b）的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若將（x+y+z）10展開為多項(xiàng)式，經(jīng)過合并同類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
AB
與
AC
的夾角為120°，且|
AB
|=2，|
AC
|=3，若
AP
=λ
AB
+
AC
，且
AP
⊥
BC
，則實(shí)數(shù)λ的值為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案