Question

5．已知函數(shù)y=x+$\frac{t}{x}$有如下性質(zhì)：如果常數(shù)t＞0，那么該函數(shù)在$（0，\sqrt{t}]$上是減函數(shù)，在$[\sqrt{t}，+∞）$上是增函數(shù)．
（1）已知f（x）=$\frac{{{x^2}-2x-4}}{x+2}$，x∈[-1，1]，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（2）對于（1）中的函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=-x-2a，若對任意x₁∈[-1，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件，先變形f（x）=$x+2+\frac{4}{x+2}-6$，可令x+2=u，1≤u≤3，而函數(shù)u=x+2為增函數(shù)，從而根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及已知的性質(zhì)便可得出f（x）的減區(qū)間為[-1，0]，增區(qū)間為[0，1]，進一步便可得出f（x）的值域為[-2，-1]；
（2）根據(jù)題意便知f（x）的值域為g（x）的子集，而容易求出g（x）的值域為[-1-2a，-2a]，從而得出$\left\{\begin{array}{l}{-1-2a≤-2}\\{-2a≥-1}\end{array}\right.$，這樣即可得出實數(shù)a的值．

解答 解：（1）y=$f（x）=\frac{{x}^{2}-2x-4}{x+2}=\frac{（x+2）^{2}-6（x+2）+4}{x+2}$=x+2+$\frac{4}{x+2}$-6；
設(shè)u=x+2，x∈[-1，1]，1≤u≤3，u=x+2為增函數(shù)；
則y=u+$\frac{4}{u}$-6，u∈[1，3]；
由已知性質(zhì)得，①當(dāng)1≤u≤2，即-1≤x≤0時，f（x）單調(diào)遞減；
∴f（x）的減區(qū)間為[-1，0]；
②當(dāng)2≤u≤3，即0≤x≤1時，f（x）單調(diào)遞增；
∴f（x）的增區(qū)間為[0，1]；
由f（-1）=-1，f（0）=-2，f（1）=$-\frac{5}{3}$；
得f（x）的值域為[-2，-1]；
（2）g（x）=-x-2a為減函數(shù)，x∈[0，1]；
故g（x）∈[-1-2a，-2a]；
由題意，f（x）的值域是g（x）的值域的子集；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-2a≤-2}\\{-2a≥-1}\end{array}\right.$；
∴$a=\frac{1}{2}$；
即實數(shù)a的值為$\frac{1}{2}$．

點評 考查分離常數(shù)法的運用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的求法，一次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域，以及子集的概念．