10.已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?nbsp;A,若當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1,x2∈A)時(shí),總有x1=x2,則稱(chēng) f(x)為單值函數(shù).例如,函數(shù)f(x)=2x+1(x∈R)是單值函數(shù).給出下列命題:
①函數(shù)f(x)=x2(x∈R)是單值函數(shù);
②函數(shù)f(x)=2x(x∈R)是單值函數(shù);③若f(x)為單值函數(shù),x1,x2∈A,且x1≠x2,則f(x1)≠f(x2);
④函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x},x≥0}\\{(\frac{1}{2})^{x}-1,x<0}\end{array}\right.$是單值函數(shù).
其中的真命題是②③.(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))

分析 由新定義可知,滿(mǎn)足題意的函數(shù)實(shí)際上是單調(diào)函數(shù).
由二次函數(shù)f(x)=x2(x∈R)的單調(diào)性判斷①;由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷②;結(jié)合單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)判斷③,由分段函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x},x≥0}\\{(\frac{1}{2})^{x}-1,x<0}\end{array}\right.$的單調(diào)性判斷④.

解答 解:由f(x1)=f(x2)(x1,x2∈A)時(shí),總有x1=x2,則f(x)實(shí)際上是單調(diào)函數(shù).
①函數(shù)f(x)=x2(x∈R)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,(0,+∞)上單調(diào)遞增,故不是單值函數(shù);
②函數(shù)f(x)=2x(x∈R)是單調(diào)函數(shù),故f(x)=2x(x∈R)是單值函數(shù);
③f(x)為單值函數(shù),則f(x)是單調(diào)函數(shù),若x1≠x2,則f(x1)≠f(x2);
④函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x},x≥0}\\{(\frac{1}{2})^{x}-1,x<0}\end{array}\right.$是分段函數(shù),在(-∞,0)上單調(diào)遞減,(0,+∞)上單調(diào)遞增,故不是單值函數(shù).
故答案為:②③.

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題,考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性,是中檔題.

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