Question

11．下列四個(gè)命題：
（1）“?x∈R，x²-x+1≤0”的否定；
（2）“若x²+x-6≥0，則x＞2”的否命題；
（3）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞$\frac{1}{2}$”的充分不必要條件；
（4）“k=2”是“函數(shù)f（x）=2^x-（k²-3）•2^-x為奇函數(shù)”的充要條件．
其中真命題的序號(hào)是（1），（2）（真命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 （1）原命題的否定為“?x∈R，x²-x+1＞0”，由于△=-3＜0，即可判斷出正誤；
（2）由于原命題的逆命題為：“若x＞2，則x²+x-6≥0”，是真命題，進(jìn)而判斷出原命題的否命題具有相同的真假性；
（3）在△ABC中，“sinA＞$\frac{1}{2}$”⇒“150°＞A＞30°”，即可判斷出正誤；
（4）“函數(shù)f（x）=2^x-（k²-3）•2^-x為奇函數(shù)”則f（-x）+f（x）=0，化為（k²-4）（2^2x+1）=0，此式對(duì)于任意實(shí)數(shù)x成立，可得k=±2，即可判斷出真假．

解答 解：（1）“?x∈R，x²-x+1≤0”的否定為“?x∈R，x²-x+1＞0”，由于△=-3＜0，因此正確；
（2）“若x²+x-6≥0，則x＞2”的逆命題為：“若x＞2，則x²+x-6≥0”，是真命題，因此原命題的否命題也是真命題，正確；
（3）在△ABC中，“sinA＞$\frac{1}{2}$”⇒“150°＞A＞30°”，因此“A＞30°”是“sinA＞$\frac{1}{2}$”的既不充分也不必要條件，不正確；
（4）“函數(shù)f（x）=2^x-（k²-3）•2^-x為奇函數(shù)”則f（-x）+f（x）=2^-x-（k²-3）•2^x+2^x-（k²-3）•2^-x=0，化為（k²-4）（2^2x+1）=0，此式對(duì)于任意實(shí)數(shù)x成立，∴k=±2，因此“k=2”是“函數(shù)f（x）=2^x-（k²-3）•2^-x為奇函數(shù)”的充分不必要條件，不正確．
其中真命題的序號(hào)是 （1），（2）
故答案為：（1），（2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、函數(shù)的奇偶性、三角函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．