Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x），當2≤x≤6時，f（x）=（

1

2

）^|x-m|+n，且f（8）=31．
（1）求m，n的值；
（2）比較f（log₂2m）與f（log₂n）的大小．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題,抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由f（x+4）=f（x），可得函數(shù)的一個周期為4．進而可得f（2）=f（6），由此得到m值，進而結合f（8）=31，得到n的值；
（2）由（1）值，當2≤x≤6時，f(x)=(

1

2

)|x-4|+30圖象的對稱軸為x=4，且在x=4處f（x）取最大值，進而可得f（log₂2m）與f（log₂n）的大小．

解答： 解：（1）∵f（x+4）=f（x），故函數(shù)的一個周期為4．…（1分）
當2≤x≤6時，f(x)=(

1

2

)|x-m|+n，
∴f（2）=f（6），…（2分）
即(

1

2

)|2-m|+n=(

1

2

)|6-m|+n，∴|2-m|=|6-m|，解得m=4．…（4分）
又f(8)=f(4)=(

1

2

)|4-4|+n=31，∴n=30．…（6分）
（2）由（1）的計算知，當2≤x≤6時，f(x)=(

1

2

)|x-4|+30圖象的對稱軸為x=4，
且在x=4處f（x）取最大值．…（8分）
又f（log₂2m）=f（3），f（4）＜f（log₂30）＜f（5），…（10分）
由函數(shù)解析式可知f（3）=f（5），…（11分）
∴f（log₂2m）＞f（log₂n）．…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，對數(shù)的運算性質，指數(shù)函數(shù)的單調性，是函數(shù)圖象與性質的綜合應用，難度中檔．