Question

求函數(shù)y=x²-2|x|-1的單調(diào)性并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答： 解：∵函數(shù)y=x²-2|x|-1=（|x|-1）²-2為偶函數(shù)，
∴作出函數(shù)的圖象如圖：由圖象可知函數(shù)在x＜-1和0＜x＜1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
在x＞1和-1＜x＜0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．
當(dāng)x≥0時(shí)，y=x²-2|x|-1=x²-2x-1，y'=f'（x）=2x-2，
由f'（x）=2x-2＞0得x＞1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f'（x）=2x-2＜0得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x＜0時(shí)，y=x²-2|x|-1=x²+2x-1，y'=f'（x）=2x+2，
由f'（x）=2x+2＞0得-1＜x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f'（x）=2x+2＜0得x＜-1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
綜上：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）和（1，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）和（-∞，-1）．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性比較簡單的方法．