Question

已知命題p：函數(shù)y=log_m（6-mx）在[1，2]上單調(diào)遞減．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）命題q：方程x²-2x+m+1=0在（0，+∞）內(nèi)有一個零點．若p或q為真，p且q為假，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：（1）因為m＞0，則y=6-mx是增函數(shù)，而整個函數(shù)是減函數(shù)，所以底數(shù)0＜m＜1，再結(jié)合定義域，即在[1，2]上函數(shù)有意義，得到關(guān)于m的不等式組，解之即可；
（2）先把q為真時的m范圍求出，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，只需f（0）≤0或△=0即可，然后根據(jù)“p或q為真，p且q為假”可得，兩命題一真一假，然后分兩種情況列出不等式組求解．

解答： 解：（1）由題意，m＞0，∴y=6-mx在[1，2]上是減函數(shù)，且滿足6-2×m＞0，∴0＜m＜3，
又∵函數(shù)y=log_m（6-mx）在[1，2]上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，應(yīng)有m＞1，
∴若p為真，則1＜m＜3．
（2）令f（x）=x²-2x+m+1，該函數(shù)對稱軸為x=1，
①當△=4-4（m+1）=0時，m=0，f（x）=0的根為1，符合題意；
②當△＞0即m＜0時，結(jié)合圖象只需f（0）=m+1≤0，解得m≤-1，
綜上，若q為真，則m≤-1或m=0；
∵“p或q為真，p且q為假”，命題p、q一真一假，
可得

m≤-1或m=0 m≤1或m≥3

或

-1＜m＜0或m＞0 1＜m＜3

，
解得m≤-1或m=0或1＜m＜3，
∴m的取值范圍是（-∞，-1]∪{0}∪（1，3）．

點評：本題考查了：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，及“同增異減”；一元二次方程根的分布問題，一般利用二次函數(shù)的圖象來分析解決．同時準確記憶“或”“且”“非”命題真假的判斷方法是最終解決問題的關(guān)鍵．