Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分別為BC和PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PBD；
（2）如果AB=PD，求EF與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明出EF∥BP，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理證明出EF∥平面PBD．
（2）先證明出∠PBD為直線EF與平面ABCD所成的角，進(jìn)而在Rt△PBD中求得tan∠PBD的值．

解答： （1）證明：在△PBC中，E，F(xiàn)為BC和PC的中點(diǎn)，
∴EF∥BP，
∵EF?平面PBD，PB?平面PBD，
∴EF∥平面PBD．
（2）∵EF∥BP，PD⊥平面ABCD，
∴∠PBD即為直線EF與平面ABCD所成的角，
∵ABCD為正方形，BD=

2

AB，
∴在Rt△PBD中，tan∠PBD=

PD

BD

=

2

2

．
∴EF與平面ABCD所成角的正切值為

2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成的角．考查了學(xué)生對立體幾何知識的綜合運(yùn)用．