Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+（x-a）²-

a

2

，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．
（Ⅲ）設(shè)x=m為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，f（x）的圖象與x軸交于A(yíng)（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，且0＜x₁＜x₂＜m，AB中點(diǎn)為C（x₀，0），求證：f′（x₀）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）在區(qū)間[

1

2

，2]上，若函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則不等式2x²-2ax+1≥0，即2a≤(2x+

1

x

)恒成立，由基本不等式即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）對(duì)f（x）進(jìn)行求解，可以設(shè)出h（x）=2x²-2ax+1，對(duì)a進(jìn)行討論：a≤0或a＞0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題；
（Ⅲ）由已知得

f(x1)=lnx1+(x1-a)2- a2 2 =0 f(x2)=lnx2+(x2-a)2- a2 2 =0

兩式相減，然后寫(xiě)出f′（x₀）的表達(dá)式，即用x₁，x₂ 表示f′（x₀），再令t=

x1

x2

∈（0，1），研究φ（t）=

2t-2

t+1

-lnt（0＜t＜1）的性質(zhì)，從而證明f′（x₀）的正負(fù)．

解答： 解：（Ⅰ） f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

依題意得，函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上單調(diào)遞增，則在區(qū)間[

1

2

，2]上不等式2x²-2ax+1≥0恒成立．
又因?yàn)閤＞0，所以2a≤(2x+

1

x

)．所以2a≤2

2

，a≤

2

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，

2

]．
（Ⅱ）f′(x)=

2x2-2ax+1

x

，令h（x）=2x²-2ax+1
①顯然，當(dāng)a≤0時(shí)，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，這時(shí)f′（x）＞0，此時(shí)，函數(shù)f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；                                
②當(dāng)a＞0時(shí)，
（ⅰ）當(dāng)△≤0，即0＜a≤

2

時(shí)，在（0，+∞）上h（x）≥0恒成立，這時(shí)f′（x）≥0，此時(shí)，函數(shù)f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；           
（ⅱ）當(dāng)△＞0，即a＞

2

時(shí)，
易知，當(dāng)

a- a2-2

2

＜x＜

a+ a2-2

2

時(shí)，h（x）＜0，這時(shí)f′（x）＜0；
當(dāng)0＜x＜

a- a2-2

2

或x＞

a+ a2-2

2

時(shí)，h（x）＞0，這時(shí)f′（x）＞0；
所以，當(dāng)a＞

2

時(shí)，x=

a- a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)；x=

a+ a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．
綜上，當(dāng)a≤

2

時(shí)，函數(shù)f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞

2

時(shí)，x=

a- a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)；x=

a+ a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．
（Ⅲ）將A、B兩點(diǎn)代入到f（x）中，可得

f(x1)=lnx1+(x1-a)2- a2 2 =0 f(x2)=lnx2+(x2-a)2- a2 2 =0

將兩式相減，得：ln

x1

x2

+(x1-x2)(x1+x2-2a)…①
由f′(x)=

1

x

+2(x-a)，得f′(x0)=

1

x0

+2(x0-a)…②
得①代入②，得f′(x0)=

1

x0

+2(x0-a)=

2

x1+x2

+(x1+x2-2a)
=

2

x2+x1

-

1

(x2-x1)

ln

x2

x1

=

1

(x2-x1)

[

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

-ln

x2

x1

]，
令t=

x1

x2

∈（0，1）且φ（t）=

2t-2

t+1

-lnt（0＜t＜1），
∴φ′（t）=-

(t-1)2

t(t+1)2

＜0，
∴φ（t）在（0，1）上遞減，∴φ（t）＞φ（1）=0，
∵x₁＜x₂，∴f′（x₀）＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題在導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用中屬于難題，題目中的兩個(gè)小問(wèn)都有需要注意之處，如（1）中，在對(duì)0＜a＜1進(jìn)行研究時(shí)，一定要注意到f（x）的取值范圍，才能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，否則不能確定．（2）中，代數(shù)運(yùn)算比較復(fù)雜，特別是計(jì)算過(guò)程中，令t=

x1

x2

的化簡(jiǎn)和換元，使得原本比較復(fù)雜的式子變得簡(jiǎn)單化而可解，這對(duì)學(xué)生的綜合能力有比較高的要求．