Question

【題目】對(duì)于函數(shù)與常數(shù),若恒成立,則稱為函數(shù)的一個(gè)“數(shù)對(duì)”;設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且.

（Ⅰ）若是的一個(gè)“數(shù)對(duì)”,且,求常數(shù)的值;

（Ⅱ）若是的一個(gè)“數(shù)對(duì)”,求;

（Ⅲ）若是的一個(gè)“數(shù)對(duì)”,且當(dāng), ,求的值及在區(qū)間上的最大值與最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知，代入解方程組即可；

（Ⅱ）由題意知恒成立,令可得,所以是公差為的等差數(shù)列,由等差數(shù)列求通項(xiàng)即可得解；

（Ⅲ）代入，可得，進(jìn)而可得在上的值域，由當(dāng)時(shí), , ,討論奇偶即可得最值.

試題解析：

（Ⅰ）由題意知

即

解得

（Ⅱ）由題意知恒成立,

令可得,

所以是公差為的等差數(shù)列,

故,

又,

故.

（Ⅲ）當(dāng)時(shí), ,

令可得,

解得,

所以時(shí), ,

故在上的值域是.

又是的一個(gè)“數(shù)對(duì)”,

故恒成立,

當(dāng)時(shí), ,

,

故當(dāng)為奇數(shù)時(shí), 在上的取值范圍是,

當(dāng)為偶數(shù)時(shí), 在上的取值范圍是,

所以當(dāng)時(shí), 在上的最大值為,最小值為,

當(dāng)且為奇數(shù)時(shí), 在上的最大值為,最小值為,

當(dāng)為偶數(shù)時(shí), 在上的最大值為,最小值為.