Question

【題目】如圖，在折線中，,,分別是的中點(diǎn)，若折線上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)至少有個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

以BC的垂直平分線為y軸，以BC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，分別表示各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），根據(jù)向量的數(shù)量積可得當(dāng)k+9＞0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為以（0，）為圓心，以為半徑的圓，結(jié)合圖象，即可求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P至少有4個(gè)的k的取值范圍．

解：以BC的垂直平分線為y軸，以BC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

∵AB＝BC＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝120°，

∴B（﹣2.0），C（2，0），A（﹣4，2），D（4，2），

∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，

∴E（﹣3，），F（3，），

設(shè)P（x，y），﹣4≤x≤4，0≤y≤2，

∵，

∴（﹣3﹣x，（3﹣x，y）＝，

即，

當(dāng)k+9＞0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為以（0，）為圓心，以為半徑的圓，

當(dāng)圓與直線DC相切時(shí)，此時(shí)圓的半徑r，此時(shí)點(diǎn)有2個(gè)，

當(dāng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)圓的半徑為r，此時(shí)點(diǎn)P有4個(gè)，

∵滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P至少有4個(gè)，結(jié)合圖象可得，

∴k+9≤7，

解得k≤﹣2，

故實(shí)數(shù)k的取值范圍為[，﹣2]，

故答案為：[，﹣2]