Question

6．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AA₁=2，AC=$\sqrt{5}$，BC=3，M，N分別為B₁C₁，AA₁的中點
（1）求證：AB⊥平面AA₁C₁C
（2）判斷MN與平面ABC₁的位置關(guān)系，求四面體ABC₁M的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出AB⊥ACAA₁⊥AB，由此能證明AB⊥平面AA₁C₁C．
（2）取BB₁中點D，推導出平面MND∥平面ABC₁，從而MN∥平面ABC₁，過N作NH⊥AC₁于H，M到平面ABC₁的距離為$\frac{\sqrt{5}}{3}$，由此能求出四面體ABC₁M的體積．

解答 證明：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，AC=$\sqrt{5}$，BC=3，
AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵AA₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴AA₁⊥AB，
∵AC∩AA₁=A，∴AB⊥平面AA₁C₁C．
解：（2）MN∥平面ABC₁．
取BB₁中點D，
∵M，N分別為B₁C₁，AA₁的中點，
∴MD∥BC₁，
又四邊形ABB₁A₁為平行四邊形，∴DN∥AB，
∵MD∩DN=D，∴平面MND∥平面ABC₁，
∴MN∥平面ABC₁，
∴N到平面ABC₁的距離即為M到平面ABC₁的距離，
過N作NH⊥AC₁于H，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，∴NH⊥平面ABC₁，
∴NH=$\frac{1}{2}×\frac{A{A}_{1}×{A}_{1}{C}_{1}}{A{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\frac{2×\sqrt{5}}{3}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴M到平面ABC₁的距離為$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴四面體ABC₁M的體積${V}_{四面體AB{C}_{1}M}$=${V}_{M-AB{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查四面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．