Question

已知函數(shù)f（x）=lnax+bx+

a

x

在x=-1時取極值．
（1）求b的取值范圍；
（2）若a=-1函數(shù)f（x）=2x+m有兩個不同的交點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）注意到題目中f（x）在x=-1有定義，初步判斷a＜0；另外，根據(jù)f′（-1）=0且-1是其極值點，列出等式，用b表示a代入計算；
（2）結(jié)合著定義域，原題可轉(zhuǎn)化成方程ln（-x）-

1

x

=2x+m在（-∞，0）上有兩個不等實根．令-x=t，則問題又進一步轉(zhuǎn)化為方程lnt+

1

t

+2t=m在（0，+∞）上有兩個不等實根，再通過求導(dǎo)的方法對函數(shù)g（x）=lnx+

1

x

+2x進行分析，求出最小值即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=lnax+bx+

a

x

的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1

x

+b-

a

x2

=

bx2+x-a

x2

，
∵f（x）在x=-1處取極值，
∴f′（-1）=0，即b=1+a，且a＜0，
由判別式大于0得，1+4ab＞0，即（2a+1）²＞0，解得a≠-

1

2

，
∴b的取值范圍是b＜1且b≠

1

2

；
（2）當a=-1時，b=1+a=0，即方程ln（-x）-

1

x

=2x+m在（-∞，0）上有兩個不等實根，
即方程lnx+

1

x

+2x=m在（0，+∞）上有兩個不等實根，
令g（x）=lnx+

1

x

+2x（x＞0），則g′（x）=

1

x

-

1

x2

+2=

2x2+x-1

x2

∴g（x）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞減，（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當x=

1

2

時，g（x）min=g（

1

2

）=3-ln2．
又當x→0，g（x）→+∞；x→+∞，g（x）→+∞，
∴當m＞3-ln2時，方程f（x）=2x+m有兩個不等實根．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用，求單調(diào)區(qū)間、求極值、求最值，同時考查參數(shù)分離法，及構(gòu)造函數(shù)求最值，屬于中檔題．